Shearlets表示

作者: huanggang08 日期：2019年4月10日

绝大多数信息都包含在图片的边缘上(along the edges)。 例如，在医学成像应用中,一个重要的任务(目标)就是分离多个潜在的重叠结构(overlapping structures)，或者说对多个潜在的重叠结构做分类。为了实现这种分类，对潜在的重叠结构的奇点和几何性质做细致的分析是非常有必要的。 [4] 这样，我们的目标就转化为对重叠结构的奇点和几何性质做分析。关于包含边界的物体的数学表示,有一个非常基本也非常重要的问题是：什么是函数$f(x_1,x_2)$的最稀疏的表示(the sparsest representation)? 这里的函数$f(x_1,x_2)$既包括光滑区域，也包括边界。

什么叫shearlet呢? Shearlet的中文词是剪切波，它是一种用来做稀疏近似(sparse approximation)的一种表示系统(representation systems)。 其他的表示系统有wavelet[6], curvelet[5]。简单地说，shearlet是一种编码方法。

它有什么用处? 在应用数学分析里, Shearlet是一种多尺度框架(multiscale framework)。 这种多尺度框架使我们可以对多变量问题类中的各向异性特征 (anisotropic features)进行有效的编码。 shearlets 概念最早在2006年被引入[1]以实现函数 $f\in L^2(R^2)$ 的分析和稀疏近似。 [1] [7] 例如，Kutyniok 和Petersen分析了函数$f = \chi_S$的奇点(singularities)[2]的探测和分类 , 这里 $S \subset R^d$ ， $d = 2, 3$。 $S$的边界(集合$\partial S$)可以通过一个与compactly supported剪切波[10]紧密相关的连续剪切波变换而提取出来。 [3]

为什么我们有时还需要用Shearlet,而不用其他的编码方法，比如傅里叶分析？我们来举一例。考虑用傅里叶级数表示一个二进制对象( binary object) $f$。 $f$ 是一个具有$C^2$边界的集合上的一个指示函数[9]。 那么，我们可以发现，当$n\to \infty$,在$f$的傅里叶系数中，绝对值超过$\frac{1}{n}$的系数的个数会以 $cn^2$变化。如此迅速的增长率意味着：为了得到很好地重构出$f$, 我们需要许多不同的项。　而如果我们选择用小波基来表示$f$,[8] 当$n \to \infty$ , 绝对值超过$\frac{1}{n}$的系数的个数仅以 $cn$ 变化。　可见，Wavelet表示比傅里叶级数表示更高效。 但是，Wavelet也有缺点，它不能有效地表示具有边界的物体！其原因很简单：Wavelet变换(小波变换)没有充分利用一个潜在的量－－边界曲率之几何 (geometry of the underlying edge curve)。这就是我们使用Shearlet来编码的部分原因。

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Shearlet

[2] A singularity of an image describes a point in which the image is not smooth.

[3] G. Kutyniok and P. Petersen, Classification of Edges using Compactly Supported Shearlets, 2015

[4] M. Storath. Separation of edges in x-ray images by microlocal analysis. Proc. Appl. Math. Mech., 11(1):867–868, 2011.

[5] Curvelet transform is a multiscale pyramid with many directions and positions at each length scale, and needle-shaped elements at fine scales.

[6] Wavelet is one of classical multiscale representations; Like Fourier analysis, wavelets is one of nonparabolic scaling methods.

[7] E. J. CANDÈS and D. L. DONOHO, New Tight Frames of Curvelets and Optimal Representations of Objects with Piecewise $C^2$ Singularities, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. LVII, 0219–0266 (2004)

[8] Daubechies, I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 61. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 1992.

[9]指示函数(indicator function),又称特征函数。一个集合$X$的一个子集$A$的指示函数表示为{\bf 1}_A: X\to \{0,1\}.其定义为 当x属于$A$时，函数值为1,否则，函数值为0. ( Letex公式如下： \begin{equation} {\bf 1}_A(x) := \left\{ \begin{aligned} 1 \ \ \text{if}\ x \in A, \\ 0 \ \ \text{if}\ x \notin A. \end{aligned} \right. \end{equation})

[10] The support of a real-valued function f is the subset of the domain containing those elements which are not mapped to zero.