Functional Derivatives

作者: Huang Gang 日期: 2018/11/12

一个泛函$F[\phi]$，即从一个赋范线性函数空间(Banach space) $M=\{\phi(x): x \in R\}$到实数或复数域的一个映射:

F:M\rightarrow \R \text{ or } \C.

泛函导数，又称为Fr${\acute e}$cht derivative, 记为$\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$. 它是依赖于$x$的一个函数.

定义泛函导数$\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$:

$\delta F[\phi] = \int dx \frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(x)} \delta\phi(x)$

注意: 泛函导数本身是$x$的函数．

我们可以从两个角度来看泛函导数之含义.

​ 角度1: 由于$\delta\phi$导致的$F$的总改变量$\delta F$ , 是$x$的定义范围内$F$之局域改变量的线性叠加.

​ 角度2: 每个函数$\delta\phi(x)$可以视为一个矢量. 对于给定的$\delta F[\phi]$值，都存在另一个函数(也可以看成是无穷维空间中的一个矢量)$\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$, 使得$\delta\phi(x)$与$\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$的内积为$\delta F[\phi]$.

例1. 当$\delta\phi(x)$取一个具体且特殊的函数$\delta\phi = \varepsilon\delta(x-y)$时，求$\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$．

解：

$\delta\phi(x)$表示这样一个函数，它只在$x = y$点有值(为$\varepsilon$); 对于其余$x$各点$\delta\phi(x) = 0$.

$\delta F[\phi] = F[\phi +\varepsilon\delta(x-y)] - F[\phi] = \int dx \frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(x)}\varepsilon\delta(x-y) = \frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(y)}\varepsilon,$

$\frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(y)} = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{F[\phi +\varepsilon\delta(x-y)]-F[\phi]}{\varepsilon}.$