矢量的分解

作者: Dylan Huang

日期：2019年3月27日

我在报刊亭看好一本杂志，需要35元。我想买下它，却发现自己只有"一把零钱"。我不知道我的钱到底够不够。我就需要整理这些零钱。我先把10元的整理出来，只有1张；然后是5元的，有3张；1元的有12张。于是，我知道我一共有$ 1 \times 10 + 3 \times 5 + 12 \times 1 = 10 + 15 + 12 = 37$ 元。$ 37> 35 $,所以我有足够的钱买下那边杂志。这里，我把一把零钱按照10元，5元，1元分成三类，数出了每类下面的钱的张数，分别为1, 3和12。 最后，我把每一类的张数与其对应的价值相乘，再求和，就得到零钱的总值。我把零钱按照面值进行归类，就是在把它做一个分解。分解让我计算钱的总值的问题变得更简单了。

我买下杂志后，准确去与一个朋友会面。由于事先不知道他在哪里，我给他发了一个消息说我的位置在倪家桥，并问他的位置。他发来消息，是："我在磨子桥。 你可以先往北1公里，再往东1公里，你会看到一个教学楼，你上三楼，我就在那里等你。" 本来我对这位朋友的位置一点也不明确，经他这样一说，我就知道了他的位置。他相对我的位置是：向北1公里+向东1公里 +向上3楼，或简单记为：位置 = 1北 + 1东 + 3上。甚至，我可以用一个未知量 $ x $ 表示他相对于我的位置, 更简单地记为 $ x = ( 1, 1, 3 ) $。位置 $x$ 被分解成三个数1,1,3后，这个位置对我而言就完全确定了。也就是说，只要我在"向北"，"向东"，"向上"这三个位置分别填上三个对应的数，就给出了一个具体而确定的位置。和我对零钱做"分解"相似，这位朋友对他自己的位置也做一个分解。"向北"，"向东"，"向上"是它分解时所用的坐标轴，1公里，1公里，3楼是他的位置在这个坐标系的坐标。

上面提到的”相对位置“是矢量的一个具体例子。我们可以把这个相对位置写成$x = 1 \vec i_1 + 1 \vec i_2 + 3\vec i_3$。一般的矢量可以有多于3个分量，比如$1\vec i_1 - 2\vec i_2 + 3\vec i_3 + 10 \vec i_4$；也可以有更少的分量，比如$1\vec i_1 + 4\vec i_2$. 一般地，我们可以把矢量$x$分解到$n$个方向上：$x = $ $(x_1,x_2,x_3,..., x_n)$, 或者写成$x = $ $x_1 \vec i_1 +x_2 \vec i_2 $ $+ \cdots + x_n \vec i_n$。

把矢量在某种特定的坐标系下做分解往往非常有用。这个矢量分解后的式子由各个基以一定的权重相加。这里的权重，也就是系数，就是该矢量在这个坐标系下的坐标。 矢量分解该如何操作呢？

求矢量 $ \vec a $ 的分解式。

解：$ \vec a = a^i \vec i_i$

两边同时以基矢量 $ {\vec i}^i $ 点乘，得

$\vec a \cdot {\vec i}^i = a^i \vec i_i \cdot {\vec i}^i = a^i$